Propiedades de las potencias

Vamos a exponer las principales propiedades de las potencias de modo simple y sencillo para que se puedan aprender con lógica y que resulte fácil recordarlas. Trataremos las propiedades del producto, las de las potencias de exponente 0, y de otros tipos de productos.

Propiedad del producto

¿Cómo multiplicar 7 ² × 7 ⁶ ?

Los exponentes indican que debemos multiplicar cada base tantas veces como indica dicho exponente, posteriormente realizaremos la multiplicación que nos interesa. La situación bien pudiera resumirse en esto:

(7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)

Si eliminamos los paréntesis, tenemos el producto de ocho 7s, que se puede escribir más sencillamente como:

7 ⁸

Esto nos da la pista de que para multiplicar potencias con la misma base, lo mejor es sumar los exponentes

7 ² × 7 ⁶ 7 = ^{(2 + 6)} = 7 ⁸

 

Propiedades de potencias con exponente «0»

 

Muchos estudiantes principiantes piensan que una potencia de exponente 0 debe dar como resultado también 0. Pero no es cierto, el caso es que toda potencia con exponente 0 tiene como resultado el número “1”

Podemos demostrarlo a partir de la propiedad del producto que hemos visto antes. Supongamos que multiplicamos:

7 ⁰ × 7 ¹ = 7 ^{(0 + 1)} = 7 ¹

Si 7⁰ hubiera sido igual a 0, sabiendo que cualquier cosa que la multipliquemos por 0 da lugar a 0, aquí la multiplicación anterior nos debería haber dado como resultado un “0”, pero no es así, porque realmente, la potencia de exponente 0, tiene como resultado el “1”.

Sabemos que 7 ¹ = 7. Por lo tanto, esto dice que 7 ⁰ × 7 = 7.

En general, para todos los números reales (a) distintos a 0, se cumple que a ⁰ = 1

Tenga en cuenta que 0 ⁰ es indefinido.

 

Exponentes negativos

Podemos usar la primera propiedad del producto de potencias para conocer también el valor de una potencia con exponente negativo. Veamos cómo:

Supongamos que tenemos que calcular el calor de 5 ^-2 . Vamos a multiplicarlo por el mismo número, pero con exponente positivo, porque sabiendo que ambos exponentes deben sumarse en la multiplicación, y que si esa suma es igual a 0, la potencia valdrá 1.

5 ^-2 × 5 ² = 5 ^{(-2 + 2)} = 5 ⁰

Sabemos 5 ² = 25, y sabemos 5 ⁰ = 1. Por lo tanto, esto dice que el 5 ^-2 × 25 = 1. ¿Qué número multiplicado por 25 es igual a 1? Esa sería su inverso multiplicativo, 1/25.

 

En general, para todos los números reales a y b , donde a ≠ 0, tenemos: a^-b = 1/ a^b

 

División de potencias

Ya hemos visto antes que para multiplicar dos potencias con la misma base, lo que hacemos es sumar los exponentes. Del mismo modo, ahora cuando queremos dividir dos potencias con la misma base, lo que tenemos que hacer es restar los exponentes.

 

Lo que estamos haciendo en realidad es cancelar números en común del numerador con los del denominador, de modo que la división quede:

 

 

 

Producto de potencias con distinta base y el mismo exponente

Cuando multiplicamos dos potencias que tienen el mismo exponente pero distinta base, el resultado es distinto de las propiedades vistas anteriormente. Por ejemplo, veamos esta multiplicación:

3 ² ×4 ² = (3 × 3) × (4 × 4)

Debido a las propiedades conmutativas y asociativas, podemos expresarla como:

3 ² ×4 ² = (3 x 4) x (3 x 4) = 12 ²

En general, para todos los números reales a , b , y c (distintos a cero):

a ^c × b ^c = ( ab ) ^c

División de potencias con distinta base y mismo exponente

Al igual que en la propiedad anterior. En el caso de las divisiones, para todos aquellos número reales a, b y c (Distintos a cero)

 

 

Ejemplo:

 

 

 

Potencia de una potencia

Aún podemos complicar más este tipo de operaciones. Supongamos que tenemos un número elevado a una potencia y a su vez, toda esta expresión, la elevamos a otra potencia. Sería una cosa así:

(5 ³ ) ⁴ = (5 ³ ) (5 ³ ) (5 ³ ) (5 ³ )

Pero las propiedades del producto de potencias nos dice que:

(5 ³ ) (5 ³ ) (5 ³ ) (5 ³ ) = 5 ^{3 + 3 + 3 + 3} = 5 ^{4 (3)} = 5 ¹²

Por lo tanto, basta con multiplicar los exponentes

( a ^b ) ^c = a ^bc .

Para calcular una potencia de una potencia, multiplicaremos los exponentes.

Potencias con exponentes fraccionarios

Ya hemos visto cómo operar con potencias de exponentes positivos, negativos o de valor 0, ahora vamos a ver cómo funciona una potencia con un exponente que es una fracción, por ejemplo9 ^1/2

Podemos de nuevo basarnos en la propiedad del producto de potencias y deducir que:

9 ^1/2 × 9 ^1/2 = 9 ^{(1/2 + 1/2)} = 9 ¹

 

 

Si el exponente es 1/2 nos queda una raíz cuadrada

Si el exponente es 1/3 nos queda una raíz cubica

9 ^{1/2 quedara como una raíz cuadrada de 9 = 3}

Para más información, recomendamos leer la página de la wikipedia  sobre la potenciación.